Definisi Aljabar Boolean
Aljabar Boolean dapat didefinisikan secara abstrak dalam beberapa cara. Cara
yang paling umum adalah dengan menspesifikasikan unsur – unsur pembentuknya
dan operasi – operasi yang menyertainya.
(Definisi 2.1 – Menurut Lipschutz, Seymour & Marc Lars Lipson dalam
bukunya ‘2000 Solved Problems in Discrete Mathematics’, McGraw-Hill, 1992)
Misalkan B adalah himpunan yang didefinisikan pada dua operator biner, + dan ., dan
sebuah operator uner,’. Misalkan 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.
Maka, tupel <B, +, ., ‘, 0, 1> disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c 0 B
berlaku aksioma (sering dinamakan juga Postulat Huntington) berikut :
1. Identitas
(i) a + 0 = a
(ii) a . 1 = a
2. Komutatif
(i) a + b = b + a
(ii) a . b = b . a
3. Distributif
(i) a . (b + c) = (a . b) + (a . c)
(ii) a + (b . c) = (a + b) . (a + c)
4. Komplemen
Untuk setiap a 0 B terdapat elemen unik a’ 0 B sehingga
(i) a + a’ = 1
(ii) a . a’ = 0
Elemen 0 dan 1 adalah dua elemen unik yang berada di dalam B. 0 disebut
elemen terkecil dan 1 disebut elemen terbesar. Kedua elemen unik dapat berbeda –
beda pada beberapa aljabar Boolean (misalnya ι dan U pada himpunan, False dan
True pada proposisi), namun secara umum kita tetap menggunakan 0 dan 1 sebagai
dua elemen unik yang berbeda. Elemen 0 disebut elemen zero, sedangkan elemen 1
disebut elemen unit. Operator + disebut operator penjumlahan, . disebut operator
perkalian, dan ‘ disebut operator komplemen.
Terdapat perbedaan antara aljabar Boolean dengan aljabar biasa untuk
aritmetika bilangan riil :
.jpg)
1. Hukum distributif yang pertama, a . (b + c) = (a . b) + (a . c) sudah dikenal di
dalam aljabar biasa, tetapi hukum distributif yang kedua, a + (b . c) = (a + b) .
(a + c), benar untuk aljabar Boolean, tetapi tidak benar untuk aljabar biasa.
2. Aljabar Boolean tidak memiliki kebalikan perkalian (multiplicative inverse)
dan kebalikan penjumlahan; karena itu, tidak ada operasi pembagian dan
pengurangan di dalam aljabar Boolean.
3. Aksioma nomor 4 pada definisi 2.1 mendefinisikan operator yang dinamakan
komplemen yang tidak tersedia pada aljabar biasa.
4. Aljabar biasa memperlakukan himpunan bilangan riil dengan elemen yang
tidak berhingga banyaknya. Sedangkan aljabar Boolean memperlakukan
himpunan elemen B yang sampai sekarang belum didefinisikan, tetapi pada
aljabar Boolean dua-nilai, B didefinisikan sebagai himpunan dengan hanya
dua nilai, 0 dan 1.
Hal lain yang penting adalah membedakan elemen himpunan dan peubah
(variable) pada sistem aljabar. Sebagai contoh, pada aljabar biasa, elemen himpunan
bilangan riil adalah angka, sedangkan peubahnya seperti a, b, c dan sebagainya.
Dengan cara yang sama pada aljabar Boolean, orang mendefinisikan elemen – elemen
himpunan dan peubah seperti x, y, z sebagai simbol – simbol yang merepresentasikan
elemen.
Berhubung elemen – elemen B tidak didefinisikan nilainya (kita bebas
menentukan anggota – anggota B), maka untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean,
orang harus memperlihatkan :
1. elemen – elemen himpuan B,
2. kaidah / aturan operasi untuk dua operator biner dan operator uner,
3. himpunan B, bersama – sama dengan dua operator tersebut, memenuhi
keempat aksioma di atas.
Jika ketiga persyaratan di atas dipenuhi, maka aljabar yang didefinisikan
dapat dikatakan sebagai aljabar Boolean.
Aljabar Boolean dapat didefinisikan secara abstrak dalam beberapa cara. Cara
yang paling umum adalah dengan menspesifikasikan unsur – unsur pembentuknya
dan operasi – operasi yang menyertainya.
(Definisi 2.1 – Menurut Lipschutz, Seymour & Marc Lars Lipson dalam
bukunya ‘2000 Solved Problems in Discrete Mathematics’, McGraw-Hill, 1992)
Misalkan B adalah himpunan yang didefinisikan pada dua operator biner, + dan ., dan
sebuah operator uner,’. Misalkan 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.
Maka, tupel <B, +, ., ‘, 0, 1> disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c 0 B
berlaku aksioma (sering dinamakan juga Postulat Huntington) berikut :
1. Identitas
(i) a + 0 = a
(ii) a . 1 = a
2. Komutatif
(i) a + b = b + a
(ii) a . b = b . a
3. Distributif
(i) a . (b + c) = (a . b) + (a . c)
(ii) a + (b . c) = (a + b) . (a + c)
4. Komplemen
Untuk setiap a 0 B terdapat elemen unik a’ 0 B sehingga
(i) a + a’ = 1
(ii) a . a’ = 0
Elemen 0 dan 1 adalah dua elemen unik yang berada di dalam B. 0 disebut
elemen terkecil dan 1 disebut elemen terbesar. Kedua elemen unik dapat berbeda –
beda pada beberapa aljabar Boolean (misalnya ι dan U pada himpunan, False dan
True pada proposisi), namun secara umum kita tetap menggunakan 0 dan 1 sebagai
dua elemen unik yang berbeda. Elemen 0 disebut elemen zero, sedangkan elemen 1
disebut elemen unit. Operator + disebut operator penjumlahan, . disebut operator
perkalian, dan ‘ disebut operator komplemen.
Terdapat perbedaan antara aljabar Boolean dengan aljabar biasa untuk
aritmetika bilangan riil :
1. Hukum distributif yang pertama, a . (b + c) = (a . b) + (a . c) sudah dikenal didalam aljabar biasa, tetapi hukum distributif yang kedua, a + (b . c) = (a + b) .
(a + c), benar untuk aljabar Boolean, tetapi tidak benar untuk aljabar biasa.
2. Aljabar Boolean tidak memiliki kebalikan perkalian (multiplicative inverse)
dan kebalikan penjumlahan; karena itu, tidak ada operasi pembagian dan
pengurangan di dalam aljabar Boolean.
3. Aksioma nomor 4 pada definisi 2.1 mendefinisikan operator yang dinamakan
komplemen yang tidak tersedia pada aljabar biasa.
4. Aljabar biasa memperlakukan himpunan bilangan riil dengan elemen yang
tidak berhingga banyaknya. Sedangkan aljabar Boolean memperlakukan
himpunan elemen B yang sampai sekarang belum didefinisikan, tetapi pada
aljabar Boolean dua-nilai, B didefinisikan sebagai himpunan dengan hanya
dua nilai, 0 dan 1.
Hal lain yang penting adalah membedakan elemen himpunan dan peubah
(variable) pada sistem aljabar. Sebagai contoh, pada aljabar biasa, elemen himpunan
bilangan riil adalah angka, sedangkan peubahnya seperti a, b, c dan sebagainya.
Dengan cara yang sama pada aljabar Boolean, orang mendefinisikan elemen – elemen
himpunan dan peubah seperti x, y, z sebagai simbol – simbol yang merepresentasikan
elemen.
Berhubung elemen – elemen B tidak didefinisikan nilainya (kita bebas
menentukan anggota – anggota B), maka untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean,
orang harus memperlihatkan :
1. elemen – elemen himpuan B,
2. kaidah / aturan operasi untuk dua operator biner dan operator uner,
3. himpunan B, bersama – sama dengan dua operator tersebut, memenuhi
keempat aksioma di atas.
Jika ketiga persyaratan di atas dipenuhi, maka aljabar yang didefinisikan
dapat dikatakan sebagai aljabar Boolean.